Примена Вијетових формула на одређивање знака решења квадратне једначине
Примена Вијетових формула
|
Бројеви \(x_1, x_2 \)су решења квадратне једначине \(ax^2+bx+c=0\), \(a, b, c∈R, a≠0\) ако и само ако важе Вијетове формуле \(x_1+x_2=-\frac{b}{a} ∧ x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}\). |
Ако је дискриминанта квадратне једначине ненегативна, њена решења су реални бројеви, па можемо разматрати везу између знака решења квадратне једначине и њених коефицијената.
Разликујемо следеће случајеве:
Решења \(x_1, x_2\) квадратне једначине \(ax^2+bx+c=0\) су оба позитивни бројеви. Тада је и збир решења позитиван број и производ решења позитиван број, тј. мора да важи: \(D=b^2-4ac≥0\) ∧ \(-\frac{b}{a}>0\) ∧ \(\frac{c}{a}>0\). (\(D=b^2-4ac≥0\) јер решења могу бити и једнаки позитивни бројеви)
Решења \(x_1, x_2 \) квадратне једначине \(ax^2+bx+c=0\) су оба негативни бројеви. Тада је и збир решења негативан број, а производ решења позитиван број, тј. мора да важи: \(D=b^2-4ac≥0 \)∧ \(-\frac{b}{a}<0\) ∧ \(\frac{c}{a}>0\). (\(D=b^2-4ac≥0\) јер решења могу бити и једнаки негативи бројеви)
Решења \(x_1, x_2\) квадратне једначине \(ax^2+bx+c=0\) су различитог знака. Тада не можемо са сигурношћу одредити какав је збир решења, али је производ решења негативан број, тј. мора да важи: \(D=b^2-4ac≥0\)∧ \(\frac{c}{a}<0\). (\(D=b^2-4ac>0\) јер решења морају бити различити бројеви).