Mатематика 2

Теорема: Бројеви \(x_1\), \(x_2\) су решења квадратне једначине \(ax^2+bx+c=0\), a, b, c∈R, a≠0 ако и само ако је \(x_1+x_2=-\frac{b}{a} ∧ x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}\).

Наведене једнакости називају се Вијетове формуле.

У математици, односно алгебри, Вијетове формуле, које су добиле име по француском математичару, Франсоа Вијету, су формуле које дају везу између нула полинома, и његових коефицијената.

Доказ:

(⇒) Нека су \(x_1, x_2\) решења квадратне једначине \(ax^2+bx+c=0\), a, b, c∈R, a≠0.

Тада квадратни трином \(ax^2+bx+c\) можемо раставити на линеарне чиниоце (као што смо већ научили):

\(ax^2+bx+c=a(x-x_1 )(x-x_2 )\)

па је \(ax^2+bx+c=ax^2-a(x_1+x_2 )x+ax_1 x_2\).

Изједначавајући одговарајуће коефицијенте полинома на левој и десној страни последње једнакости, добијамо Вијетове формуле:

\(x_1+x_2=-\frac{b}{a} ∧ x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}\)

(⇐) Нека су \(x_1, x_2\) бројеви, такви да важи \(x_1+x_2=-\frac{b}{a} ∧ x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}\).

Тада је \(b=-a(x_1+x_2 )\) и \(c=ax_1 \cdot x_2\) па за сваки x важе једнакости:

\(ax^2+bx+c=ax^2-a(x_1+x_2 )x+ax_1 x_2=a(x^2-x_1 x-x_2 x+x_1 x_2 )=\)

\(=a(x(x-x_1 )-x_2 (x-x_1 ))=a(x-x_1 )(x-x_2 )\)

Специјално, за \(x=x_1\) имамо да је \(ax_1^2+bx_1+c=a(x_1-x_1 )(x_1-x_2 )=0\).

И за \(x=x_2\) имамо да је \(ax_2^2+bx_2+c=a(x_2-x_1 )(x_2-x_2 )=0\), дакле \(x_1, x_2\) су решења квадратне једначине \(ax^2+bx+c=0\).